Методика применения визуальных моделей при обучении решению задач с параметрами

В последствии нужно решить систему заданий, которая предполагает переход от линейных неравенств к линейным неравенствам с модулями, к произвольным выражениям, к выражениям которые требуют преобразований.

Указать множество точек плоскости, удовлетворяющих условиям: ; ; ; ; .

Каждое из этих заданий преобразуется к равносильной системе, где используются построения для элементарных функций.

На этапе обучения моделированию нужно перейти к задачам с параметрами. На этом этапе нужно объяснить, что параметр рассматривается как переменная, и показать, что существуют два случая: параметр объявляется независимой переменной и параметр зависит от значений другой переменной. По сути, мы получаем тот же метод областей, но задача усложняется в связи с тем, что кроме построения мы должны, опираясь на иллюстрацию, произвести отбор значений параметра которые требуются в задании. Разбор задач нужно начать с относительно простых заданий, для того чтобы показать действие данного метода.

При каких значениях параметра a имеет единственное решение система неравенств

Пусть a будет переменной. Для построения графической модели системы содержащей неравенство нам потребуется метод областей. Зависимая переменная a. Это связанно с тем, что a проще выразить через x. В качестве независимой переменной всегда выбирают ту, которую проще выразить через другую. Постройте в системе координат xOa множество точек, задаваемое системой. Мы получили фигуру (рис. 10) ограниченную параболами и . Сейчас мы воспользуемся методом «движущаяся прямая», для каждого положения прямой мы получаем в пересечении с множеством отрезок, точку или пустое множество. Если прямая a=a0 пересекает множество по отрезку АВ, то это означает, что при a=a0, система неравенств имеет решения равные абсциссам всех точек отрезка АВ. В задаче же нужно найти такие значения параметра, при которых система имела бы одно решение. Из рисунка видно, что такими значениями параметра являются и .

Этап обучения работе с моделями начинается после того, как разобрали приведенное выше задание. Он предполагает решение простых заданий, но здесь, после того как задание решено, можно изменить его условие, а рисунок оставить тем же и, продолжая так, получить всю возможную информацию, которую может дать иллюстрация. Здесь делается основной упор не на решение трудных заданий, а на работу с графическими моделями. Здесь же нужно отработать умение выбирать независимую переменную. При построении моделей можно предложить использование разных цветов, например, разными цветами можно изображать включаемые и не включаемые линии, а так же оси координат, и конечное искомое множество. Это усилит наглядность рисунка и может избавить от случайной ошибки. После того как отработаны все приемы по построению и интерпретации графических моделей, можно переходить к более сложным заданиям, где в качестве подзадачи возникает задача приведения выражения к виду, удобному для графического моделирования.

В двух предыдущих методах решения заданий с параметрами был указан вид выражения, по которому мы можем сказать, что применим именно этот метод. В этом случае нужно отметить, что данный метод применяется, в случае, если задание содержит неравенство или неравенство возникает в результате преобразований, и можно выразить значение параметра через переменную или наоборот. Умение выбирать в случае необходимости подходящий метод делает решение сложных заданий более рациональным, рассуждения более ясными, последовательными и лаконичными.