Умственные действия в содержании темы «Функции и их свойства» в 7-9 классах

Каковы этапы формирования понятия? Какие умственные действия адекватны каждому этапу? Эти вопросы исследуются в психологии, где, в частности, отмечается значимость овладения следующими умственными действиями: подведение объекта под понятие (распознавание), отыскание следствий (из факта принадлежности объекта понятию). Так, Н. Ф. Талызина к компонентам указанных умственных действий относит: перечисление необходимых и достаточных свойств объектов данного класса; установление того, обладает ли данный объект выделенными свойствами или не обладает; заключение о принадлежности объекта к данному понятию; выведение следствий, классификацию; конструирования объектов с учетом варьирования отношений. Ряд психологов (Н.А. Менчинская, Е. Н. Кабанова-Меллер и др.) рекомендуют при формировании понятий осуществлять варьирование несущественных признаков, тем самым, способствуя усвоению существенных [8, с.28].

В результате изучения курса математики основной школы по линии «Функция» учащиеся должны владеть следующими понятиями: область определения, область значений функции, график функции, промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства функции, нули функции, четность и нечетность функции.

Итак, какие же умственные действия (следуя Н.Ф. Талызиной) необходимы учащимся при изучении этих свойств функций?

На основе анализа различных решений и обобщения методов решения задач, связанных со свойствами функций, нами разработаны списки умственных действий, которые необходимы при изучении свойств функций.

Анализ учебников и сборников задач по математике показывает, что задания на тему «Свойства функции» могут быть представлены как на «алгебраическом» языке, так и на «графическом» языке. В зависимости от способа задания функции (формула, график) можно выделить умственные действия, относящиеся к «алгебраическому» и к «графическому» способам решения задач.

Нахождение «Области определения функции». Это умственное действие может иметь следующую структуру.

«Графический» способ.

выдели (найди) ось ОХ;

отметь точки, в которых функция не определена, если они есть;

выдели на числовой прямой промежутки, в которых функция определена.

запиши полученные промежутки.

«Алгебраический» способ.

«выдели» формулу, задающую функцию;

изучи особенности данной формулы ( выясни, чем является стоящее в правой части формулы выражение: многочленом, дробью, …,из какого исходного выражения получена данная формула);

найди те значения переменной, при которых данное выражение не существует.

Запиши в ответе все значения, кроме тех, при которых данное выражение не существует.

Нахождение «Области значений функции». Структуру этого умственного действия можно определить так.

«Графический» способ.

1) выдели (найди) ось ОУ;

выдели на оси ординат промежутки, которые составляют значения функции;

запиши полученные промежутки.

«Алгебраический» способ.

«выдели» формулу, задающую функцию;

изучи особенности данной формулы ( выясни, чем является стоящее в правой части формулы выражение: многочленом, дробью, …,из какого исходного выражения получена данная формула);

найди те значения выражения, которые данное выражение может принимать.

Отыскание «Промежутков возрастания и убывания функции». Структуру этого умственного действия можно определить так.

«Графический» способ.

выдели ось ОХ;

найди точки графика, в которых график функции при «взгляде» слева направо поднимается вверх;

отметь (цветом) промежутки на оси Ох, на которых направление графика одинаковое;

запиши полученные промежутки, в которых график функции имеет одинаковое направление, отдельно.

Нахождение «Промежутков знакопостоянства». Это умственное действие может иметь следующую структуру: